Random-Effects-Modell

  • Modellformulierung:

    • Das Random-Effects-Modell basiert auf den Annahmen (A1) – (A4) und (A5R) mit Gleichung:

      \[ y_{it} = \alpha_i + X_{it}^\top \beta + \epsilon_{it} \]

    • Die \(\alpha_i\)’s sind Zufallsvariablen, nicht deterministisch, und der Zufallsfehler ist idiosynkratisch:

      \[ \alpha_i \sim \mathcal{N}(\alpha, \sigma_{\alpha}^2) \quad\quad \epsilon_{it} \sim \mathcal{N}(1, \sigma_{\epsilon}^2) \]

  • Varianzstruktur der Fehler: Kovarianzmatrix der Fehler für \(i\) und alle gemeinsam, mit \(I_T\) als \(T \times T\) Einheitsmatrix und \(J_T\) als Einsermatrix:

    \[ \Omega_i = \sigma_{\epsilon}^2 I_T + \sigma_{\alpha}^2 J_T \quad\quad \Omega := \text{Var}(u) = \text{diag}(\Omega_1,\ldots,\Omega_N) \]

  • Warum \(I_T\) und \(J_T\)?
    \(\rightarrow\) \(\text{Var}(u_{it}) = \sigma_{\epsilon}^2 + \sigma_{\alpha}^2\) und \(\text{Cov}(u_{it}, u_{is}) = \sigma_{\alpha}^2\) für \(t \neq s\)

  • Ziel: Effiziente Schätzung der Koeffizienten \(\beta\) unter Berücksichtigung der zufälligen Effekte.
    Reduktion der Varianz im Vergleich zum Fixed-Effects-Schätzer, wenn Annahmen erfüllt sind.

  • Generalized Least Squares (GLS) Schätzer:

    • Schätzung der Koeffizienten und Varianzmatrix des Schätzers:

      \[ \widehat{\beta}_{RE} = (X^{*\top} \widehat{\Omega}^{-1} X^*)^{-1} X^{*\top} \widehat{\Omega}^{-1} y^* \] \[ \text{Var}(\widehat{\beta}_{RE}) = \frac{1}{NT-D-1} (X^{*\top} \widehat{\Omega}^{-1} X^*)^{-1} \]

    • Schätzung folgt GLS, ist zweistufig und berücksichtigt in der zweiten Stufe die Autokorrelationsstruktur (hier nicht weiter ausgeführt) durch transformierte Regressoren \(X^{*}\)

Schätzung im Random-Effects Modell

Implementierung Random-Effects Schätzung in R

library(plm)
data("EmplUK", package = "plm")
re_out <- plm(wage ~ emp + capital + output, data = EmplUK,
              effect = "individual", model = "random", index = c("firm","year"))
print(summary(re_out))
Oneway (individual) effect Random Effect Model 
   (Swamy-Arora's transformation)

Call:
plm(formula = wage ~ emp + capital + output, data = EmplUK, effect = "individual", 
    model = "random", index = c("firm", "year"))

Unbalanced Panel: n = 140, T = 7-9, N = 1031

Effects:
                 var std.dev share
idiosyncratic  4.768   2.184 0.156
individual    25.858   5.085 0.844
theta:
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8398  0.8398  0.8398  0.8439  0.8499  0.8583 

Residuals:
    Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
-12.7406  -1.4278  -0.3196  -0.0101   1.0011  17.9986 

Coefficients:
              Estimate Std. Error z-value  Pr(>|z|)    
(Intercept) 27.6663911  0.9014516 30.6909 < 2.2e-16 ***
emp         -0.1062911  0.0262412 -4.0505 5.110e-05 ***
capital      0.1785261  0.0608780  2.9325  0.003362 ** 
output      -0.0310606  0.0077168 -4.0251 5.696e-05 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Total Sum of Squares:    5165.4
Residual Sum of Squares: 4886.1
R-Squared:      0.055556
Adj. R-Squared: 0.052797
Chisq: 39.8633 on 3 DF, p-value: 1.139e-08

Schätzung im Random-Effects Modell

Interpretation der Ergebnisse

  • Vergleich der Schätzergebnisse:

    • RE-Schätzer für \(\beta_{\text{capital}}\):\(~~~\) \(\widehat{\beta}_{\text{capital, RE}} = 0.179, \quad p = 0.003362\)
    • Interpretation: Im RE-Modell ist Kapital signifikant positiv, im FE-Modell nicht signifikant

  • Ergebnisse für Output:

    • RE-Schätzer für \(\beta_{\text{output}}\):\(~~~\) \(\widehat{\beta}_{\text{output, RE}} = -0.031, \quad p = 5.696\text{e-}05\)
    • Interpretation: Output hat in FE- und RE-Modellen einen signifikanten negativen Einfluss

  • Interpretation der individuellen und idiosynkratischen Varianz:

    • geschätzte Standardabweichung der individuellen Effekte und idiosynkratischen Fehler:

      \[ \widehat{\sigma}_{\alpha} = 5.085 \quad\quad \widehat{\sigma}_{\epsilon} = 2.184 \]

    • Varianz von Löhnen zwischen Firmen ist größer als Varianz von Löhnen innerhalb einer Firma

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