\(\widetilde{y} = (\widetilde{y}_{11},\ldots,\widetilde{y}_{1T},\ldots,
\widetilde{y}_{NT})^{T}\) und \(\widetilde{X} = (\widetilde{X}_{11},\ldots,\widetilde{X}_{1T},\ldots, \widetilde{X}_{NT})^{T}\)
Intercept entfällt, da die Transformation die Mittelwerte entfernt
First-Difference-Schätzer
Grundidee und Ziel:
Eliminierung der individuellen Effekte \(\alpha_i\) durch Differenzbildung: für festes \(i\) werden zwei aufeinanderfolgende Zeitpunkte \(t-1\) und \(t\) betrachtet, so dass im Modell vor Differenzbildung gilt:
Differenzbildung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten, \(\alpha_i\) fallen wieder weg. Neue Modellgleichung: nur Veränderungen in \(X_{it}\) beeinflussen \(\Delta y_{it}\):
\(\Delta y = (\Delta y_{11},\ldots,\Delta y_{1T},\ldots,\Delta y_{NT})^{T}\) und \(\Delta X = (\Delta X_{11},\ldots,\Delta X_{1T},\ldots,\Delta X_{NT})^{T}\)
Eigenschaften des First-Difference-Schätzers:
konsistent unter Standardannahmen
höhere Varianz als Within-Schätzer, da Differenzbildung Varianz der Fehler erhöht
benötigt mindestens \(T \geq 2\), da erste Periode für Differenzbildung entfällt
Schätzung im Fixed-Effects Modell
Vergleich Within-Schätzers vs First-Difference-Schätzer
Vergleich mit First-Difference-Schätzer:
Die Within-Transformation reduziert die Varianz der abhängigen Variablen nur um einen Faktor \(\frac{T}{T+1}\), wodurch der Informationsverlust gering ist
Beim First-Difference-Schätzer verdoppelt sich hingegen die Varianz, was zu höheren Standardfehlern führt
First-Difference-Schätzer ist insbesondere bei wenigen Zeitpunkten ineffizient
Asymptotische Eigenschaften:
Die geschätzte Varianz von \(\widehat{\beta}_{FE}\) ist gegeben durch:
Die Fehler \(\epsilon_{it}\) müssen homoskedastisch und unkorreliert sein, um eine effiziente Schätzung zu gewährleisten
Falls Autokorrelation oder Heteroskedastizität vorhanden ist, sind robuste Standardfehler erforderlich
Schlussfolgerungen:
Within-Schätzer ist unter den Standardannahmen konsistent und asymptotisch normalverteilt
Falls \(T\) klein ist, kann der First-Difference-Schätzer zu großen Standardfehlern führen, wodurch der Within-Schätzer oft vorzuziehen ist
Schätzung im Fixed-Effects Modell
Implementierung Within-Schätzung in R
Inwiefern haben Kapital capital, Output (output) bzw. Sektor (sector) Einfluss auf Lohn wage
library(plm)data("EmplUK", package ="plm")fe_out <-plm(wage ~ capital + output +factor(sector), data = EmplUK,effect ="individual", model ="within", index =c("firm","year"))print(summary(fe_out))
Oneway (individual) effect Within Model
Call:
plm(formula = wage ~ capital + output + factor(sector), data = EmplUK,
effect = "individual", model = "within", index = c("firm",
"year"))
Unbalanced Panel: n = 140, T = 7-9, N = 1031
Residuals:
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max.
-12.69621 -1.15115 -0.16712 0.95113 17.29499
Coefficients:
Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|)
capital 0.0642258 0.0649524 0.9888 0.323
output -0.0384657 0.0076773 -5.0103 6.555e-07 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Total Sum of Squares: 4403.4
Residual Sum of Squares: 4281.3
R-Squared: 0.027726
Adj. R-Squared: -0.12648
F-statistic: 12.6756 on 2 and 889 DF, p-value: 3.7333e-06
sector aufgrund Multikollinearität zu Firmenindex firm entfernt: Firma wechselt Sektor nicht
capital insignifikant vs. output\(\ra\) negativer Effekt von \(\widehat{\beta}^{FE}=-0.0384657\)
Schätzung im Fixed-Effects Modell
Implementierung First-Difference Schätzung in R
fe_out <-plm(wage ~ capital + output +factor(sector), data = EmplUK,effect ="individual", model ="fd", index =c("firm","year"))print(summary(fe_out))
Oneway (individual) effect First-Difference Model
Call:
plm(formula = wage ~ capital + output + factor(sector), data = EmplUK,
effect = "individual", model = "fd", index = c("firm", "year"))
Unbalanced Panel: n = 140, T = 7-9, N = 1031
Observations used in estimation: 891
Residuals:
Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max.
-13.458947 -0.891161 0.016247 1.036022 16.425976
Coefficients:
Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.1133889 0.0770901 1.4709 0.1417
capital -0.0061282 0.0691908 -0.0886 0.9294
output 0.0084674 0.0132336 0.6398 0.5224
Total Sum of Squares: 4002.5
Residual Sum of Squares: 4000.6
R-Squared: 0.00046382
Adj. R-Squared: -0.0017874
F-statistic: 0.20603 on 2 and 888 DF, p-value: 0.81385
sector entfernt wie gerade, nun aber auch capital UND output insignifikant
First-Difference-Schätzer hat bekanntermaßen höhere Varianz, sodass
\[
t = \frac{\widehat{\beta}^{FD}}{\sigma(\widehat{\beta}^{FD})}
\]
tendenziell näher an Null liegt, wenn \(\sigma(\widehat{\beta}^{FD})\) steigt. Das kann die Abweichung zu
\[
t = \frac{\widehat{\beta}^{FE}}{\sigma(\widehat{\beta}^{FE})}
\]